यदि फलन f(x) = begin{cases} (1+|cos x|)^{frac | vedclass

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Question

(D) फलन के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(\frac{\pi

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(D) फलन के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$ होना चाहिए।सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} e^{\frac{\cot 6x}{\cot 4x}} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} e^{\frac{\sin 4x \cdot \cos 6x}{\sin 6x \cdot \cos 4x}} = e^{2/3}$.अब,बाईं सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (1+|\cos x|)^{\frac{\lambda}{|\cos x|}} = e^\lambda$.इन सीमाओं को $f(\frac{\pi}{2}) = \mu$ के बराबर रखने पर:$e^\lambda = \mu = e^{2/3}$.अतः,$\lambda = \frac{2}{3}$ और $\mu = e^{2/3}$.अब,मान रखने पर:$9\lambda + 6 \log_{e} \mu + \mu^6 - e^{6\lambda} = 9(\frac{2}{3}) + 6 \log_{e} (e^{2/3}) + (e^{2/3})^6 - e^{6(2/3)}$$= 6 + 6(\frac{2}{3}) + e^4 - e^4 = 6 + 4 = 10$.

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{2}, & 0 \leqslant x < 1 \\ 1/2, & 1 \leqslant x < 2 \end{cases}$ और $g(x) = (2x + 1)(x - k) + 3$ जहाँ $0 \leqslant x < \infty$ है,तो $g(f(x))$,$x = 1$ पर सतत होगा यदि $k$ का मान है:

फलन $f(x) = p[x + 1] + q[x - 1],$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,$x = 1$ पर सतत है यदि:

$f(x) = \begin{cases} [x^2] - [-x^2], & x \neq 3 \\ k, & x = 3 \end{cases}$ $x = 3$ पर सतत है,तो $k = $ ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

यदि $f(x) = \frac{(e^{2x} - 1) \sin x^{\circ}}{x^2}, x \neq 0$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $f(0) =$

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